Prestashop necesita tener acceso a varios ficheros en su instalación para almacenar información importante. Eso lleva a que se deban configuran los permisos de carpetas y ficheros en la instalación a 777 y/o 666 para carpetas y ficheros. En la siguiente imagen podéis ver una pantalla tipo de las necesidades de los permisos:

Esta utilización de permisos es de grave riesgo de seguridad en el servidor y existe una solución más sencilla. Con configurar el servidor como Fastcgi y no como Apache el tema estará solucionado.
La utilización de 777 en carpetas y 666 en archivos
es considerada un problema grave de seguridad en tu servidor
Si utilizáis Plesk podéis cambiar la configuración básica del Hosting. Estos son los pasos que debéis seguir para modificar de Apache a Fastcgi:
- Acceder a Sitios web y dominios
- Seleccionar el dominio y apretad sobre «Configuración de Hosting»
- En la sección estadísticas y scripting web existe la opción Soporte para PHP, elegid la opción Aplicación FastCGI
- Nada más…

Con este cambio al realizar una instalación nueva de Prestashop la aplicación se instalará sin problemas y sin necesidad de cambiar los permisos a las carpetas.